No capítulo anterior mostramos a cara do nosso inimigo principal a transmitir o vírus da Dengue para os humanos, o Aedes Aegypti. De imediato, somos levados a pensar, destruímos esses ‘danados’ um a um, sem eles não haverá a transmissão da Dengue, certo? Bem, a lógica é boa, tão boa que alguém deve ter pensando nisso antes, então por que eles ainda estão por aí? Talvez eliminá-los não seja tão simples, precisamos de outras estratégias, e se como alternativa a procura de combate direto, focássemos na dinâmica de transmissão. A palavra dinâmica não foi utilizada em vão, a muito tempo se vem procurando modelos matemáticos que expliquem a propagação de epidemias. De fato, um modelo estudado para transmissão da dengue hoje é o SIR-SI (humanos suscetíveis, infectados e recuperados – vetores suscetíveis e infectados), que leva em conta o seu principal transmissor, nosso vilão. Esse será tratado mais adiante (no spoilers), por enquanto foi descrito o modelo base para ele. O modelo SIR (Indivíduos suscetíveis, infectados e recuperados) explica a dinâmica de propagação de uma doença que é transmitida diretamente de indivíduo a indivíduo em uma população.

Uma primeira tentativa de modelar a propagação de doenças, foram divididos os indivíduos de uma população em classes de acordo com seu estado em relação a infecção. Essa divisão pode ser descrita da seguinte forma: Suscetíveis – Indivíduos não infectados, sujeitos a futuras infecções; Infectados – Indivíduos que estão doentes e podem vir infectar os suscetíveis; Recuperados – Indivíduos que estão imunizados após se recuperarem da infecção. Feito isto, a busca imediata é como essas classes interagem entre si, e isto é bastante intuitivo. No entanto, a terminologia é bastante carregada, recomendando-se a leitura acompanhada com o diagrama visto na Figura abaixo

Figura 1: Representação esquemática do modelo SIR. As classes são: Suscetíveis (S(t)), Infectados (I(t)) e Recuperados (R(t)). As constantes consideradas desse modelo são: b como taxa de natalidade, d taxa de mortalidade, \alpha é a taxa de mortalidade causada pela infecção, \beta é o coeficiente de transmissão da doença que determina a taxa que de novos casos da infecção a partir dos contatos entre suscetíveis e infectados, \gamma taxa de recuperados da infecção, \nu taxa de recuperados que se tornam suscetíveis, \mu é a taxa de novos suscetíveis, a população total é representada por N(t) e é igual a soma das classes em questão.

As considerações para o modelo SIR são:

 

A população total (N) é dividida somente nas classes de indivíduos Suscetíveis (S), Infectados (I) e Recuperados (R). Isto implica que a quantidade de indivíduos em cada classe respeita a igualdade N = S + I + R.

Se consideradas condições ideais e fixas para todos os indivíduos de uma população, pode-se assumir taxa de natalidade constante. Assumindo ainda que a infecção não passe da mãe para o bebê, todo novo indivíduo é da classe suscetível. Assim, se a taxa de natalidade for igual em todas as classes e dada por b, a quantidade de novos indivíduos concebidos nas classes Suscetíveis, Infectados e Recuperados num período \Delta t é dada por: bS\Delta t, bI\Delta t e bR\Delta t, respectivamente. Daí, o número total de novos indivíduos suscetíveis, nesse período de tempo, pode ser encontrada pela soma \mu N \Delta t = bS\Delta t + bI\Delta t + bR\Delta t = b(S + I + R)\Delta t = bN \Delta t. Destas igualdades se extrai a igualdade imediata b = \mu. Como esperado, a taxa de natalidade é igual à taxa novos suscetíveis. No entanto, deve-se atentar que algumas doenças podem causar infertilidade e/ou dificultar a reprodução (Clamídia, Gonorreia), para esses, a taxa de natalidade é diferente em cada classe, o que torna a última igualdade inválida.

Equivalentemente, para uma população, a taxa de mortalidade natural é considerada constante e igual a d. No entanto, para casos dos indivíduos infectados essa, taxa é somada de um fator (\alpha), que tenta modelar as mortes causadas pela infecção. Este está relacionado em como os indivíduos reagem a infecção, assim como os métodos de cura que sociedade sabe até o momento.

Até aqui foram vistas as relações populacionais. Quanto ao avanço da infecção, é interessante atentar aos mecanismos de transmissão do agente infectante. No caso do SIR, consideram-se as interações entre infectados e suscetíveis, para uma população que se desloca livremente no espaço, considerando o número \beta como sendo a média de indivíduos com os quais um suscetível tem contato suficiente para uma possível propagação da doença numa unidade de tempo. Então \beta I/N é a taxa média de contatos deste com infectados e \beta IS/N será a taxa de novos contaminados.

Os infectados se recuperam a uma taxa proporcional ao número total de indivíduos nesta classe representada por \gamma. Da mesma forma, os recuperados perdem imunidade a uma taxa proporcional ao número total de indivíduos nesta classe, representada por \nu.

\end{itemize}

Assumido tais considerações o modelo dinâmico é escrito da seguinte forma:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \dot{S} = \mu N+\nu R-dS-\beta IS/N &S(0)=S_0>0 \\ \dot{I} = \beta IS/N - \gamma I-(d+\alpha)I &I(0)=I_0>0\ \\ \dot{R} = \gamma I - (d+\nu)R &R(0)=R_0>0, \end{cases} \end{equation*}

com N = S + I + R, ao somar as três parcelas deste sistema teremos exatamente \dot{N} = (\mu - d)N - \gamma I, que é a taxa de crescimento da população total.

Caro leitor, caso esteja se perguntando “para que tudo isso?”, Eu me fiz essa pergunta inúmeras vezes. Entretanto, com um pouquinho de spoiler, o SIR é a base para o modelo da dengue, de fato este é constituído de dois modelos SIR ligados entre si (SIR de humano ligado a um SIR de vetor).

Mesmo com todas as considerações utilizadas para o modelo, o sistema (1) possui três estados, a fim de reduzir ainda mais a complexidade da análise, considera-se as seguintes situações extras: não há morte devido a infecção, ou seja \alpha = 0; não há perda de imunização, o que acarreta \nu = 0; a população é constante, deste modo \mu = d, em suma, isto quer dizer que o número de mortes é balanceado pelo número de nascimentos. Portanto, fazendo ainda s = S/N, i = I/N e r = R/N, o sistema em (1) pode ser escrito como

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} \dot{s} = \mu(1-s)-\beta is &s(0)=s_0\geq 0 \\ \dot{i} = \beta is - \gamma i-\mu i &i(0)=i_0\geq 0, \end{cases} \end{equation*}

considerado população constante r = 1 − s − i, vale ressaltar que o sistema só faz sentido físico na região \Delta = {(s, i)|s \geq 0, i \geq 0 \text{ e } s+i \leq 1}. Chegamos, finalmente, ao modelo SIR clássico (prometo parar com a modelagem, a partir de agora é análise de sinais), cabendo uma pequena pausa para entender o que está representado em (2): novos suscetíveis chegam a taxa de \mu e saem a taxa de morte mais infectados \mu s + \beta is. Novos infectados chegam a taxa de \beta is e saem a taxa de morte mais os que se recuperam (\gamma + \mu)i.

Ok! essa modelagem toda nos diz o que exatamente sobre o sistemas epidemiológicos?

Como dito antes, foi uma primeira tentativa de modelar dinamicamente esses sistemas, e ela trás consigo uma interpretação matemática do que pode ser considerado epidêmico. Quem realizou um dos primeiros estudos matemáticos do modelo SIR foi [1], caso o leitor se interesse por análise de sistemas não lineares, vale a leitura. Um dos principais resultados obtidos pelo autor é a condição de equilíbrio endêmico e não endêmico da infecção em termos do número básico de reprodução definida por R_0 = \frac{\beta}{\mu+\gamma}. Este número é importante no estudo de dinâmica populacional e seu valor ficou diretamente relacionado ao equilíbrio endêmico ou fim da epidemia em alguns trabalhos, como [2]. Voltando as essas condições, elas foram postas no seguinte

Teorema: Seja (s(t), i(t)) contido em \Delta solução de (2). Se R_0 \leq 1 ou i_0 = 0 (estado inicial sem infectados), as trajetórias das soluções que iniciam em \Delta tenderão a situação de erradicação da doença s = 1 e i = 0. Se R_0 > 1, as trajetórias das soluções com i_0 > 0 tenderão um equilíbrio endêmico dado por s = 1/R_0 e i = \mu(R_0 - 1)/\beta.

Este teorema é bastante interessante do ponto de vista matemático, mas o que R_0 tem a ver com isso? O que ele representa?

Num primeiro momento, a soma \mu  + \gamma é a taxa de perda dos infectados por morte e recuperação, dessa forma \frac{1}{\mu+\gamma} é o período médio de infectividade, ou seja, o período infeccioso médio de um indivíduo. Assim, o número médio de contatos efetivos (com transmissão) a que este está sujeito é dado por \frac{\beta}{(\mu+\gamma)}. De certo modo, se em média um infectado infecta menos de uma pessoa, em algum momento a infecção acaba.

Então se esse R_0<1os novos números de infectados serão menor que o atual?

É uma pergunta pertinente, e faz sentido que seja assim. No entanto, vale salientar que o teorema em questão não faz menção a isto. Podemos, como alternativa, simular o sistema e ter uma ideia (sem garantias matemáticas) do que acontece com a evolução no tempo.

Figura 2: Evolução de suscetíveis (azul), infectados (vermelho) e recuperados (verde) no tempo. Com \mu = 1/(70*12) mes^{−1} (expectativa de vida de 70 anos), \beta = 5 mes^{−1} (contatos por mês de um indivíduo) e \gamma = 1 mes^{−1} (média de um mês de infeccioso), logo R_0=0.998 . Frações iniciais dadas por s_0 = 0.9, i_0 = 0.1 e r_0 = 0.

Nota-se que o número de infectados cai com o tempo, se o tempo de simulação for estendido ainda veríamos  o número de infectados tendendo a zero, uma vez que R_0\leq1, condição garantida pelo teorema acima. Quanto a R_0>1, o gráfico mostra oscilações nas frações dos estados,  isso pode ser entendido do seguinte modo: como o número básico de reprodução é maior que um, espera-se que um infectado tem capacidade de infectar em média mais de uma pessoa no período infeccioso. No entanto ele consegue transmitir apenas para indivíduos suscetíveis, isso implica que em um surto inicial o número de suscetíveis cai muito, fazendo com que os contatos entre infectados e suscetíveis venham em menor quantidade. Na continuidade do processo, pessoas nascem, aumentando o número de suscetíveis a valor crítico que geram novos pequenos surtos, como pode ser visto na Figura 3.

Figura 3: Evolução de suscetíveis (azul), infectados (vermelho) e recuperados (verde) no tempo. Com \mu = 1/(70*12) mes^{−1} (expectativa de vida de 70 anos), \beta = 10 mes^{−1} (contatos por mês de um indivíduo) e \gamma = 0.5 mes^{−1} (média de um mês de infeccioso), logo R_0=19.95 . Frações iniciais dadas por s_0 = 0.9, i_0 = 0.1 e r_0 = 0.

 

Visto a importância do número básico de reprodução, buscar diminuir seu valor é uma primeira tentativa de controle das epidemias. Daí, vemos as implicações das técnicas de isolamento e vacinação, no isolamento procura-se reduzir a taxa de contatos médios \beta e na vacinação pode ser entendido como uma rápida taxa de recuperação, tornando \gamma grande e, portanto reduzindo R_0.

Ao ‘misturar’ dois modelos SIR, como fica o número básico de reprodução? e quanto as suas implicações? Veremos esses questionamentos no próximo capítulo. Para aqueles com interesse no entendimento matemático, vale a leitura de [3] e [4].

[1] H. W. Hethcote, “Qualitative analyses of communicable disease models,” Mathematical biosciences, vol. 28, iss. 3-4, p. 335–356, 1976.
[Bibtex]
@article{hethcote1976qualitative,
title={Qualitative analyses of communicable disease models},
author={Hethcote, Herbert W},
journal={Mathematical Biosciences},
volume={28},
number={3-4},
pages={335--356},
year={1976},
publisher={Elsevier}
}
[2] E. G. Nepomuceno, “Dinâmica, modelagem e controle de epidemias,” Ufmg. tese de doutorado. http://www. cpdee. ufmg. br/defesas d, vol. 534, 2005.
[Bibtex]
@article{nepomuceno2005dinamica,
title={Din{\^a}mica, Modelagem e controle de epidemias},
author={Nepomuceno, Erivelton Geraldo},
journal={UFMG. Tese de Doutorado. http://www. cpdee. ufmg. br/defesas D},
volume={534},
year={2005}
}
[3] H. K. Khalil, “Noninear systems,” Prentice-hall, new jersey, vol. 2, iss. 5, p. 5–1, 1996.
[Bibtex]
@article{khalil1996noninear,
title={Noninear systems},
author={Khalil, Hassan K},
journal={Prentice-Hall, New Jersey},
volume={2},
number={5},
pages={5--1},
year={1996}
}
[4] R. Grimshaw, Nonlinear ordinary differential equations, Routledge, 2017.
[Bibtex]
@book{grimshaw2017nonlinear,
title={Nonlinear ordinary differential equations},
author={Grimshaw, Roger},
year={2017},
publisher={Routledge}
}
Sobre o Autor

Graduado em Engenharia Eletrônica pela Universidade Federal de Sergipe (UFS, 2012-2017). Realizou Iniciação Científica como bolsista no Projeto Dinâmica de Fluidos (Séries de Fourier, 2014-2015); e como voluntário no Projeto Espaços de Schwartz e Transformada de Fourier (Teoria de espaços funções singulares). Atualmente, mestrando em Engenharia Elétrica pela mesma instituição. As áreas de interesse em pesquisa concentram-se em: Sistemas não Lineares; Sistema Epidemiológicos; Processamento de Sinais; Programação em Modelagem Matemática; Controle Não-Linear.

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